function urne1(a,L,r)
%simule r trajectoires de longueur L de la chaîne d'Ehrenfest,avec a boules présentes
%dans la première urne au départ, 0 ds la 2e

%SIMULATION DE LA MATRICE D'EHRENFEST
P=zeros(a+1,a+1);
u=[1/a:1/a:1];
v=[1:-1/a:1/a];
P=P+diag(u,-1)+diag(v,1);

%SIMULATION D'UNE R2ALISATION DE LONGUEUR L DE LA CHAINE
X=zeros(r,L);
for j=1:r
    X(j,1)=a;
for i=2:L
    u=rand;
Q=P(X(j,i-1)+1,1);
c=1;
while Q<u
    Q=Q+P(X(j,i-1)+1,c+1);
    c=c+1;
end
X(j,i)=c-1;
end
end
X;

%PLOT DES r REALISATIONS
figure(1);
plot(X')
title([num2str(r),' simulations de la chaîne d''Ehrenfest'])
ylabel(['Nombre de boules dans l''urne A'])
xlabel(['Nombre de particules échangées entre les deux urnes'])

%MESURE INVARIANTE
%(on compare les configurations finales avec la loi Binom(a,1/2))
figure(2)
histo(X(:,L),[],0,1)
title(['Nombre de particules dans l''urne A à la ',num2str(L), '-ème étape des ',num2str(r),' réalisations de la chaîne ; comparaison avec la la loi Binom(',num2str(a),'1/2)'])
xlabel(['Nombre de particules à la ',num2str(L), '-ème étape'])
hold on
Y=zeros(1,a+1);
for i=1:a+1
Y(i)=nchoosek(a,i-1)*1/2^a;
end
plot(Y,'r')
hold off