Couplage
141. Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications. VS 151. Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
J’ai donc choisi la leçon 141 puisque les leçons sur les corps (avec Déterminant et quelques leçons sur les groupes) étaient celles sur lesquelles j’espérais tomber.


Plan
On se limite aux polynômes sur un corps (commutatif), pour éviter de parler de l'anneau A[X] de manière trop générale.

I Généralités

1) Polynômes irréductibles

-K[X] est euclidien avec rappel de la division euclidienne sur K[X]
-Définition de polynômes irréductibles et factorialité de K[X]
-Premiers exemples : sur C et R

2) Corps de rupture

-Définitions des extensions de corps, du degré et multiplicativité des degrés
-Définition d'un élément algébrique et de son polynôme minimal et il est irréductible

II Exemples et Applications

1) Deux critères d'irréductibilité

-Un polynôme de degré n sur K[X] est irréductible ssi il est sans racines dans les extensions de degré au plus n/2 et application sur X^5 + X + 1 dans le corps à 2 éléments (et autres exemples sur F_2 avec rappels sur les constructions des corps finis)
-Critère d'Eisenstein avec application aux n ièmes polynômes cyclotomiques sur Q (rappel des defs et pptés) avec n premier puis puissance d'un nombre premier. En application, construction des polygones irréductibles. Je n'ai pas évoqué l'irréductibilité générale sur Z[X] comme l’un de nos professeurs nous l'a conseillé (car les cas signalés sont « faciles » contrairement aux autres qui font l’objet d’un développement). Je voulais signaler à l'oral cette différence de niveau mais j'ai oublié.

2) Polynômes irréductibles sur F_q

-Definition de la fonction de Mobius et 1ère formule d'inversion en lemme
-Développement 1 : Dénombrement des polynômes irréductibles unitaires sur F_q avec l'équivalent. En remarque, l'analogie avec le théorème des nombres premiers.

3) En algèbre linéaire (en dimension finie)

-Définition du polynôme minimal d'un endomorphisme et d'un élément relativement à un endomorphisme, le second étant irréductible.
-Définition d'un endomorphisme semi-simple
-Développement 2 : Le polynôme minimal de f est produit d'irréductibles sans carré distincts implique la semi-simplicité de f (je n’ai pas osé mettre l'équivalence par peur de manquer de temps). En remarque, on retrouve le critère sur C de diagonalisation.

Pour présenter le plan, j'ai mis en relief que les polynômes irréductibles sont les nombres premiers de K[X] (via le développement 1 notamment) et le corps de rupture, c'est trouver une racine aux polynômes qui en manquent et que l'irréductibilité assurait qu'on obtient bien un corps. J'ai écrit X^2 + 1 et C pour illustrer mon propos.


Développement choisi : Endomorphismes semi-simples

J’aurais préféré le développement 1 et j’ai dû beaucoup réviser la dernière semaine avant l’oral pour maîtriser ce développement 2. Du coup, j’ai réussi à présenter la démonstration sans erreur et sans contre-temps. Il a pris 13 minutes et le jury a souhaité entendre la réciproque avec le temps qui restait, ce que j'ai su faire en 2/3 minutes.


Discussion avec le jury

Aucune question sur le plan n'a été posé. J'ai eu les questions/exercices suivants.

-A la suite du développement : Soit un endomorphisme de R^3 de polynôme minimal X(X^2+1). Trouver tous ses sous-espaces stables.
Le jury m'a fait trouver d'abord Ker(f^2-Id) et Ker(f). Ensuite, il faut considérer la semi-simplicité pour montrer que ce sont les seuls en considérant les différentes dimensions d'un sev stable.

-Calculez le degré de [Q(racine de 2,racine cubique de 2) : Q]
J'ai evoqué le résultant mais le jury voulait des choses plus simples. Il m'a orienté vers la multiplicativité du dégré et j'ai su introduire les bons sous-corps pour pouvoir conclure.

-Soit a=racine de 2 + racine de 3. Calculez le degré de [Q(a):Q]
Le jury m'a demandé de trouver un polynôme minimal puis il fallait prouver l'irréductibilité de ce polynôme pour conclure.

-Montrer que polynôme caractéristique et minimal ont même facteurs irréductibles
J'ai à peine eu le temps d'écrire des idées (je ne savais pas la réponse) que c'était terminé.

Mon bilan

Sans prétention, j'ai fait preuve de quelques idées et de beaucoup de réactivité face aux remarques du jury (très sympathique par ailleurs, n'hésitant pas à blaguer carrément pendant Agir en fonctionnaire de l’Etat!). J’ai bien pris le temps avant de répondre ce qui m’a permis d’éviter de sortir des grosses erreurs.
Je suis sorti très satisfait de cet oral. Je n'ai eu aucun regret sur ce que j'avais manqué ou dit et j'ai été content que la majorité des questions ait parlé d'extensions, un de mes domaines favoris en algèbre. J'estimais mériter 15 voire 16 ce qui était largement suffisant à mes yeux.
Finalement, j'ai eu 14.2/16 soit 17.75/20 ! Je me savais solide en algèbre mais cette note a vraiment dépassé mes rêves les plus fous ! Surtout, je n'ai pas eu l'impression d'avoir fait des choses stratosphériques pour obtenir cette note.