Les livres de maths pour l'agrég

Un nouveau livre de développements pour l'agrégation externe qui mérite le détour vient de paraître. Voici un mot des auteurs :

Dans l'espoir d'aider les candidats à l'agrégation, nous avons compilé de nombreux développements inédits, de tous niveaux, permettant d'illustrer toutes les leçons et de faire vivre les idées autrement. L'ouvrage vient de paraître chez Dunod : 131 développements pour l'oral.

Notre grande motivation a été de diversifier un peu les sujets présentés à l'oral, en incluant des sujets plus transverses (billards, épidémiologie, théorie analytique des nombres, analyse complexe en algèbre linéaire, nombres p-adiques...) et des thématiques moins abordées qui nous tiennent à cœur (théorie des nombres, EDP, anneaux et corps, analyse variationnelle, formes quadratiques...).

Un tel ouvrage nous a beaucoup paru manquer lors de nos préparations à l'agreg (où la plupart des bonnes références sont soit des livres taupinaux, soit essentiellement rédigés comme des cours sur un thème donné, fermant la porte à la tranversalité et à de nombreux thèmes originaux mais pertinents, et rendant moins efficace). Nous avons donc tenu à mener à bout ce projet qui nous a pris de nombreuses années.

Les livres sont importants lors de l’année de préparation. Le jour des oraux, vous aurez droit à tous les livres que vous voulez pendant les 3 heures de préparation. Il faut donc absolument avoir certains livres préférés, et bien les connaître pour retrouver rapidement les résultats. Jusqu’à il y a deux ou trois ans, il y avait une liste de livres interdits à l’oral de l’agreg. Dorénavant, tous les livres avec numéro ISBN et sans sont autorisés.

Quelques livres qu’on a aimés

Il va sans dire qu’il n’y a pas de livre miracle, et que deux personnes différentes ne vont pas avoir les mêmes livres préférés. Voici tout de même une liste des livres que j’ai trouvés indispensables cette année :

Les indispensables

• Caldero & Germoni – Histoires hédonistes de groupes et de géométries

Nous nous sommes beaucoup servi de notre cours de M1 de Philippe Caldero, et il est repris dans ce libre paru en 2013. On pourra y trouver un développement sur la loi de réciprocité quadratique (voir leçon 101 de Florent).

J’ai du mal à envisager qu’on puisse préparer l’agreg pendant un an sans jamais jeter un coup d’œil aux livres de Xavier Gourdon. Ils contiennent l’essentiel du programme de prépa, mais aussi de nombreux exos souvent hors programme. On trouve aussi des annexes sur la réduction de Jordan, le théorème de Baire etc. Bref, une mine de développements !

Un bouquin taillé pour l’agreg. De nombreuses applications et exemples pour chaque théorème (nickel pour les plans). Vraiment pas mal pour l’analyse fonctionnelle, l’analyse complexe… Rien en revanche sur la théorie des groupes par exemple

Ma découverte de l’année ! Un livre énorme qui regroupe une quantité phénoménale de résultats. Génial pour les formes quadratiques, les isométries, le groupe linéaire etc.
Les autres livres de la série (L1, L2, L3 Analyse) sont aussi très bien. Si on se pose une question sur un résultat, il y a de grandes chances pour que l’on y trouve une réponse !

Ma référence pour toutes les leçons d’algèbre linéaire : sous-espace stables, réduction…

Ma référence incontournable pour la théorie des groupes. C’est un livre sous forme d’exercices corrigés, les démonstrations sont courtes et bien rédigées. Riche d’exemples, il couvre toutes les leçons sur les groupes.

Bon livre sur l’intégrale de Lebesgue, intéressant pour les séries de Fourier, la transformée de Fourier, le produit de convolution…

J’ai peu utilisé ce livre, mais c’est parce que j’ai fait impasse sur les leçons de géométrie. Il vaut quand même le détour.

6 livres d’exercices corrigés, super pour trouver des développements.

Ma référence incontournable pour les leçons sur les polynômes irréductibles, les corps finis… Pour les motivés qui veulent parler de théorie de Galois dans leur plan, c’est une bonne référence.

Ce n’est pas le livre que j’ai le plus utilisé. En tout cas, les thèmes qu’il aborde sont centraux à l’agreg. Le livre de P. Ortiz propose de corriger les exercices de Perrin, ainsi que le livre de Francinou & Gianella.

Là encore, un bouquin fait pour l’agreg, donc un effort est fait sur les applications et les exemples. Sympa pour les leçons d’analyse (calcul diff, topologie…)

Je n’aime pas la façon dont est écrit ce livre, il me semble désordonné, je n’aime pas les notations, bref j’ai du mal. Pourtant, il regroupe beaucoup de matière pouvant servir de développement. Ca reste une référence.

Vraiment super ! Un cours épuré, et de très nombreux exos pouvant servir de développements (lemme de Morse, sous variétés etc.). Ma référence incontournable pour les leçons de calcul diff.

Je ne me servais presque que de ce livre pour l’analyse complexe.

Quelques autres livres, moins indispensables :

Hauchecorne – Les contre-exemples en mathématiques
Gramain – Intégration pour l’intégration (espaces L^p…)
Mneimné & Testard – Groupes de Lie (exponentielle matricielle, groupes topologiques…)
D. Serre – Les matrices (décompositions de matrices, topologie sur les matrices…)
Rudin – Analyse réelle et complexe (de haut niveau)
Hirsch & Lacombe – Eléments d’analyse fonctionnelle (analyse fonctionnelle)
Gonnord & Tosel (deux livres de haut niveau, nombreux développements, mais je trouve les démonstrations peu détaillées, il faut s’accrocher pour suivre !)
Combes – Algèbre et géométrie (bien pour les barycentres, les espaces affines etc.)
Brézis – Analyse fonctionnelle (bien pour les espaces L^p et l’analyse fonctionnelle en général, assez haut niveau)
Alessandri – Thèmes de Géométrie
Bouvier & Richard – Théorie des groupes
Les livres d’exercices de Chambert-Loir
Les deux livres de Comtet pour l’analyse combinatoire
Mialet & Tissier - Analyse à une variable réelle (résultats de base sur les fonctions à variable réelle)

Probas / Stats :

Barbe & Ledoux – Probabilité + Hervé Carrieu – Probabilité (cours + livres avec corrections d’exo)
Rivoirard & Stoltz - Statistiques en action (fait pour l’épreuve de modélisation, cours condensé de stats puis thèmes)
Ross - Initiation aux probabilités
Foata & Fuchs
Toulouse
Ouvrard

Les malles

On a donc dit que vous pouviez utiliser des livres le jour de l’oral, mais quels livres ?
- Chaque prépa agreg envoie une malle de livre sur les lieux de l’agreg, et vous avez le droit de piocher dans cette malle. Les malles se situent toutes dans la même pièce, et personne ne vérifie si vous prenez des livres dans la malle de votre prépa ou dans une autre.
- Il y a aussi « les livres de la bibliothèque de l’agrégation », dont la liste est disponible ici.
- Vous pouvez enfin amener vos propres livres avec vous.

Pour finir, voici un exemple de malle d'agreg : la malle de Lyon 2010.

Quelques conseils

Au début, lorsqu’on prépare ses premiers plans, on peut avoir tendance à aller piocher des résultats dans 10 livres différents, cherchant à faire le meilleur plan possible. Mais si vous faites ça, il y a des chances pour que vous soyez incapables de vous souvenir des livres utilisés le jour de l’oral. Faites l’expérience : préparez une leçon avec 10 livres, et essayez de restituer le plan un mois plus tard ! Parfois, il faut donc mieux une leçon moins riche en propriétés exotiques et en applications, mais avec un nombre de références beaucoup plus réduit.

Il faut aussi faire attention à un point : d’un livre à l’autre, les notions sont abordées différemment. Par exemple, sur les séries de Fourier, dans certains livres, on montre que les polynômes trigonométriques sont denses dans les fonctions continues et périodiques (Weierstrass), puis on montre Parseval etc. Dans d’autres, on montre le théorème de Fejer, la densité des polynômes trigonométriques en découle, et on en déduit Parseval. Attention aux mix de livres qui seraient incohérents. Il serait aussi dommage de changer de notations au cours du plan… Il est clair que moins le nombre de livres utilisés est important, plus le plan a de chances d’être cohérent et facile à restituer ; mais en parallèle, on perd de la richesse, de l’originalité. A vous de trouver le bon compromis.

Le jour de l’agreg, il peut être rassurant d’emporter avec soi les livres de Karine Madère et celui d’Ivan Nourdin. Cela permet de voir si on a oublié des résultats dans son plan (attention au recopiage de ces livres…). Dans le Madère, il est proposé des questions de jury ; si vous avez du temps en fin de préparation, vous pouvez essayer de les résoudre.

Globalement, j'ai eu les mêmes goûts que Florent en matière de livres. Au mois d'août avant mon année de préparation, j'en ai acheté quelques uns pour avoir une base de travail chez moi. Je m'étais servi de la liste et des commentaires de Florent ci-dessus, que je ne peux donc que vous recommander. Préférant souvent travailler chez moi plutôt qu'à la bibliothèque, ça m'a été très utile d'avoir acheté une quinzaine des livres les plus utiles. Pour les autres, notre bibliothèque universitaire nous permet d'emprunter jusqu'à 6 livres à la fois, ce qui m'a permis de faire des roulements avec des livres plus spécifiques selon les leçons que je travaillais. J'ai aussi eu la chance qu'on me prête une quinzaine d'autres livres pour l'année, du coup j'étais dans de très bonnes conditions de travail chez moi.

D'autre part, l'avantage d'avoir ses propres livres est de pouvoir les amener aux oraux : je rappelle qu'on peut amener ses livres du moment qu'ils sont publics (typiquement ayant un numéro ISBN depuis au moins 6 mois). Comme l'a très bien expliqué Florent, on ne manque pas de livres aux oraux car chaque université en envoie un bon nombre, et l'agrégation a également sa bibliothèque. Mais j'ai gagné beaucoup de temps à avoir mes livres : je trouve ça plutôt long de rassembler ses livres depuis les malles des universités car les livres sont parfois mal rangés suite à tous les emprunts et au fait que certains sont justement déjà empruntés par d'autres candidats (quand j'ai passé mes oraux, on était 8 de Lyon sur les trois même jours de passage, donc 8 à utiliser principalement la malle de la fac de Lyon). D'ailleurs de très nombreux candidats amènent leurs valises de livres : la salle des livres est jonché de valises pendant les oraux. Ce qui est pratique, c'est qu'on peut laisser sa valise sur place, ça évite de la trimbaler (c'est lourd même si la valise a des roulettes, et il fait chaud fin juin !). Autre petit détail : lorsqu'on a tiré notre couplage de leçons, le temps de préparation commence aussitôt, donc plus vite on a rassemblé ses livres, plus on en gagne sur la préparation proprement dite.

Chacun a ses propres goûts en matière de livres, et à titre purement indicatif, je vous donne les livres "indispensables" de Florent que je ne retiendrais pas comme indispensables :

• Szpirglas – Algèbre L3 + autres livres de la collection
• Faraut – Calcul intégral
• Tisseron - Notion de topologie. Introduction aux espaces fonctionnels

En revanche je rajouterais ceux-ci :

• Candelpergher – Calcul intégral : très bon livre, très bien expliqué, avec également un gros chapitre très utile sur l'analyse complexe.
• Saux-Picart - Cours de calcul formel, algorithmes fondamentaux : très bien pour des éléments sur les séries formelles, le résultant,...