Développements

Florent

Développements de Florent : plus bas sur cette page, vous trouverez quelques uns de mes développements. Ils sont pour la plupart numérisés, pas toujours très lisibles, et il s'agit souvent de démonstrations recopiées dans des livres. Cependant, j'ai essayé de détailler au maximum ces preuves, notamment les points qui me posaient problème dans les livres sur lesquels je me basais. Dans les commentaires, je rajoute des liens vers des fils des mathématiques.net où je demandais de l'aide sur ces développements ; vous verrez que je me posais pas mal de question bêtes !

Voici en plus la liste de tous les développements de Florent avec les leçons correspondantes ; attention, cette liste n'est pas complètement à jour, mais je n'ai pas le courage d'y apporter les petites modifications nécessaires. Pour une liste plus à jour, voir la liste de toutes les leçons de Florent.

ALGEBRE

Assez facile, pas très intéressant, sympa en 3e développement, se recase pas mal. Un peu trop court.

J'ai l'impression de vraiment comprendre ce qui se passe avec cette démonstration de Jordan, beaucoup d'explications à l'oral. Pour le présenter il est bon de savoir deux ou trois choses sur les tableaux de Young. Réfléchir au fait qu'avec ce développement, on montre qu'une classe de similitude des nilpotents est entièrement caractérisée par un tableau de Young, mais les matrices de Jordan caractérisent-elles les classes ? Autrement dit, on n'a pas montré qu'un nilpotent est semblable à une UNIQUE matrice de Jordan.

Casse-gueule car on utilise l'inversion de l'exponentielle matricielle. Pour ça on a besoin d'arguments d'analyse (équa diff, ou séries formelles avec développements limités, bref, vraiment casse-gueule). Un peu court en plus. Voir ici.

Je l'aime bien. Très proche de la décomposition polaire. Il faut bosser au moins un de ces deux développements pour voir comment ça marche.

Sympa aussi. Attention, erreur dans le développement : j'ai écrit que deux matrices codiagonalisables et ayant mêmes valeurs propres sont égales ; c'est faux (voir développement Florent4)

Très long ! Il faut le connaître par coeur pour tenir en 15 minutes. C'est le cas euclidien le plus long. Attention on doit admettre la réduction des matrices symétriques au préalable. Ce théorème a l'avantage de donner immédiatement plein de réductions (On(R), Un(C), On(C), An(R), An(C) etc.) Voir ici.

Très long lui aussi si on veut tout faire. Je ne pense pas qu'on puisse présenter ce développement dans la leçon "diagonalisabilité" si on ne montre pas le lien entre les deux notions.

Etude de l'action par équivalence : orbites, représentants normaux, topologie des orbites... On peut modifier ce développement très facilement, en rajouter, en enlever...

Un peu de géométrie, les rapports du jury en demandent ! Il me semble classique et simple, mais je pense qu'il est pas mal, surtout si on fait de beaux dessins à côté et qu'on réalise un dictionnaire permutation/isométrie.

Utilisation de la connexité pour montrer la simplicité d'un groupe. Pas de référence écrite à ma connaissance, merci à la prépa agreg de Rennes ! Un peu court. Voir ici.

Un peu répétitif, mais présente là aussi l'avantage d'être très modelable. On peut ne présenter que quelques cas, ne pas faire la partie dénombrement, ne pas faire la propriété sur les sous-groupes d'ordre n de Sn etc. Moi je faisais tout et ça rentrait en 15 minutes, à condition de tracer. Voir ici.

Ne pas aborder si on ne maîtrise pas bien le produit semi-direct ; préférer les sous-groupes d'ordre 8 sinon. Très long.

Je ne l'aime pas ; trop classique en plus. Mais il est important de connaître l'idée de la preuve.

Un des développements les plus difficiles que j'ai travaillés. Très très long, même en admettant le cas n=2. Passages techniques difficiles à mémoriser. Cette preuve évite de parler des espaces hyperboliques, mais en contrepartie, il faut apprendre certains passages par coeur (pas trouvé dans un livre). Pour les amateurs d'espaces isotropes, allez-y ! Voir ici.

C'est celui que j'ai présenté en analyse le jour de l'agreg (oui je l'ai classé dans algèbre, peut-être à tort), le jury m'a mis 16,5. Il me semble très bien : théorèmes de point fixe, convexité, barycentres, compacité, formes quadratiques, actions de groupes... Attention, il est relativement long. Voir ici.

Trop court je trouve, mais c'est une application intéressante des formes quadratiques réelles. Il faut par contre savoir quelques trucs sur les relations coeff/racines car on s'expose à des questions sur ce sujet.

M'a donné beaucoup de mal. J'ai failli le laisser tomber, mais dans la leçon "sous-groupes finis de SO3", il n'y a pas trop de choix pour les développements... On ne peut pas étudier tous les cas, j'en proposais quelques-uns seulement. Partie dénombrement casse-gueule si on ne la maîtrise pas, possibilité de s'embrouiller. Même si on ne propose pas tous les cas, il faut savoir comment on procède. Bonnes connaissances sur les polyèdres nécessaires. Voir ici.

Mouais. Je le proposais en 3e développement dans quelques leçons. A le mérite d'être un peu plus original que la moyenne.

C'est pas mal mais il me semble impossible de montrer les deux sens. Un sens est déjà assez long, et l'autre sens utilise la correspondance de Galois.

Pas mal recasable.

Un peu court, connaître l'énoncé du théorème de Dirichlet fort.

Très classique, sans doute trop.

Notations très lourdes, difficile à réaliser au tableau et à expliquer si on ne s'y est pas bien entraîné. J'ai finalement décidé de le laisser tomber.

Un peu trop simple et trop court, mais original. Récupéré sur une page perso d'un ex-agrégatif.

 

ANALYSE

Pris dans le Gourdon, mais rédigé différemment (hypothèses plus fortes mais qui vont pour ce qu'on veut montrer, démonstration "à l'envers" par rapport au livre). Assez long, ne pas s'embrouiller dans les epsilon. Voir ici.

Très long, même si on montre juste que c'est un Hilbert et qu'on exhibe une base hilbertienne. Le livre de référence où j'ai pris ce développement semble se compliquer la vie pour montrer que c'est une base hilbertienne, gros raccourci possible. Voir ici, ici, ici, ici, ici.

Long et à préparer, sinon on se trompe à coup sûr à la fin de la démo, si on inverse "supérieur" ou "inférieur", si on met "+ epsilon" ou "- epsilon"... En 15 minutes, je ne traitais que le cas réel.

Pas mal, mais attention ! On peut prolonger la fonction gamma d'une façon beaucoup plus rapide. Voir ici et ici

Super développement dans la leçon sur les séries numériques ; difficilement recasable. Nombreuses applications. Voir ici.

Je le trouve très bien : transformée de Fourier, fonctions holomorphes, prolongement analytique, bases hilbertiennes, espace L²... Bien transversal. Voir ici.

Bof. Pas sûr que ça ait un grand intérêt. Attention au Gonnord Tosel qui ne détaille pas beaucoup. Voir ici.

Bien sympa : formes quadratiques, calcul diff, Taylor Young... Assez long.

Lui aussi je l'aime bien : espaces de Hilbert, espaces vectoriels, applications linéaires continues... Voir ici.

A savoir qu'on peut la montrer d'une façon beaucoup plus rapide et algébrique (Gram-Schmidt). C'est ici une curiosité. Attention au Gonnord Tosel qui ne détaille toujours pas beaucoup.

Variante de la démonstration du Zuily Queffelec, qu'on trouve dans d'autres livres. Me paraît moins calculatoire. Attention tout de même : on utilise la formule de Green-Riemann, c'est pas du gâteau... Voir ici et ici.

Pas mal, un peu long mais ça va.

Pas mal aussi pour les séries entières et les formules de Taylor.

Très très long ! Gros investissement, calculs difficiles. A noter que dans cette version, je ne calcule pas entièrement le déterminant de Cauchy. S'entraîner absolument sur un tableau, ne s'improvise pas.

Pas mal mais j'utilise beaucoup de résultats sans les montrer, notamment la densité de la classe de Schwartz dans L². Voir ici.

Bof bof.

Je ne l'aime pas beaucoup, très calculatoire, mais utilise les séries génératrices.

Original car probabilités, et les probas sont (semble-t-il) délaissées par les candidats. Voir ici.

Caractérisation de la loi normale par l'indépendance. Assez long. Il existe plusieurs versions de ce théorème, et plusieurs démonstrations. Voir ici et ici.

Pas mal dans loi binomiale et loi de Poisson, illustrer avec des exemples concrets.

Je ne l'aime pas : trop court si on montre juste le théorème de Weierstrass, il faut étudier la vitesse de convergence, et je trouve ça très pénible. Attention aux petites propriétés sur le module de continuité.

Version faible du théorème de Lévy, suffisante pour montrer le TCL. Attention à la fin du TCL dans le passage à la limite. Voir ici et ici.

Démonstration originale ne nécessitant aucun théorème sur les chaînes de Markov. Voir ici.

Très théorique, casse-gueule. Difficile à rédiger au tableau. Long. Voir ici.

Soussou et Romain M.

Développements de Soussou : voici la liste de tous les développements de Soussou, en analyse et en algèbre. Le seul développement publié est un développement peu détaillé dans les livres que j'ai consultés, j'ai essayé d'en rajouter un peu : Relations de Plucker.

Développements de Romain M. : et ici, la liste des développements de Romain M., en analyse et en algèbre.

Florent

Voici un document regroupant plusieurs idées de développements, tirées du livre "Histoires Hédonistes de Groupes et de Géométries", de Jérôme Germoni et Philippe Caldero :

Développements issus du Caldero-Germoni

Romain G.

Voici un gros document regroupant tous mes développements rédigés, incluant ma liste de couplages, des suppléments pour chaque développement et quelques résultats intéressants en plus à la fin :

Développements de Romain G.

Nicolas

Développements de Nicolas :

Avant toute chose, le document de couplages.

Algèbre

Analyse

Développements mixtes

Développements coupés au montage

Victor

Il me semble important d’expliquer mon auto-critique de chaque développement que j’ai proposé pour que vous puissiez mieux utiliser chaque développement. Pour chaque développement, j’ai évalué la difficulté (ça reste relatif évidemment) et expliqué si c’est un développement où j’ai mis du temps pour le travailler ou l’améliorer ou si le développement était juste un bouche-trou que j’espérais ne pas faire.

Algèbre

Composantes connexes de l'ensemble des formes quadratiques non dégénérées

Difficulté : Moyenne / Mon intérêt : Faible

L’ouverture est réalisée via le lemme du lemme de Morse, histoire de recycler un développement déjà connu. Bien préciser le cadre métrique de Sn(R)++. Pas horrible à comprendre si on connait bien les notions utilisées (signature, composantes connexes, inversion locale).


Construction de polygones

Difficulté : Moyenne / Mon intérêt : Fort

Il faut commencer par apprendre les notions de constructibilité à la règle et au compas et le théorème de Wantzel (qui sont hors-programme a priori) et ne pas avoir peur des extensions de corps. Le développement est alors facile à motiver comme utilisation des extensions, des complexes de module 1 et surtout de l’irréductibilité des polynômes cyclotomiques et du terme cyclotomique qui signifie diviser le cercle. Enfin, on peut faire preuve de pédagogie grâce au dessin du pentagone et de l’octogone via le carré. Même le non-fan de géométrie que je suis aime bien cet énoncé.


Décomposition de Bruhat et action sur les drapeaux

Difficulté : Elevé / Mon intérêt : Fort

Pour l’avoir bien travaillé et fait en classe, j’aime bien ce développement qui en plus se recase pas mal. Néanmoins, il est difficile à comprendre, en particulier la correspondance drapeau/matrice qui est le point clé à saisir je pense. De plus, on ne peut pas tout présenter, mais faire Bruhat + proposition 2 ou les deux propositions est très bien. Enfin, bien insister selon la leçon sur la notion correspondante (matrices de permutations pour le groupe symétrique, drapeaux pour matrices trigonalisables etc…).


Dénombrement des solutions d'une équation diophantienne

Difficulté : Faible / Mon intérêt : Faible

C’est en (très) grande partie calculatoire, c’est le seul danger du développement. C’est archi-classique surtout avec le retour de la leçon Equations diophantiennes.


Ellipsoïde de John-Loewner

Difficulté : Elevé / Mon intérêt : Fort

Développement d’algèbre qui se recase fortement en analyse, ce qui fait que je l’aime beaucoup ! Attention aux définitions et hypothèses des différentes références et à la longueur, au calcul du volume est piégeur et il faut être solide sur les formes quadratiques (les fq forment un ev mais pas les fq positives et on choisit les fq positives et non définies positives car la fermeture est alors simplifiée). Je proposais une version existence (calcul du volume + compacité) et une version unicité (calcul du volume + convexité de A et log-concavité du det) selon les leçons.


Endomorphismes semi-simples

Difficulté : Elevé / Mon intérêt : Moyen (Fort depuis que je suis passé dessus)

Le développement que j’ai présenté le jour J ! Je le connaissais mal une semaine avant mais ça s’est bien passé. Je n’avais proposé que le sens dur pour éviter de déborder mais n’ayant fait que 13 minutes, le jury m’a demandé la réciproque pour compléter l’énoncé du plan. La difficulté est de ne pas s’embrouiller avec toutes les notations et bien visualiser ce qu’on cherche à démontrer (trouver un supplémentaire f-stable). Insister sur la stabilité qui assure la définition des endomorphismes induits et motiver la semi-simplicité comme la diagonalisation qui se conserve par extension de corps.


exp est un homéomorphisme

Difficulté : Elevé / Mon intérêt : Moyen

Je pense que le mélange algèbre/analyse de ce développement ou les polynômes interpolateurs peuvent effrayer. Attention à bien maîtriser la norme 2 qui fait marcher la preuve (puisqu’on est en dimension finie, on choisit celle qui nous arrange).


Homographies de P(C) et birapport

Difficulté : Moyen / Mon intérêt : Moyen

L’intérêt du développement est de présenter une définition du birapport dont la valeur est alors facilement calculable. Développement plutôt original et d’un niveau raisonnable, la droite projective étant un cas simple de géométrie projective (au programme d’ailleurs).


Générateurs de O(E) et de SO(E)

Difficulté : Faible / Mon intérêt : Fort

Développement ultra-classique, très recasable et qui peut être traité par n’importe qui : on peut enlever la partie sur SO(E) si on est modeste ou tout faire si on est plus ambitieux. De plus, on peut se démarquer par une présentation bien maitrisée (en particulier en faisant des dessins !) et l’appliquer en petite dimension (en application ou dans le plan) peut permettre de le motiver.


Groupes d’ordre pq

Difficulté : Moyen / Mon intérêt : Moyen

Le développement en lui-même est plutôt facile et assez court. Cependant, le produit semi-direct et les théorèmes de Sylow sont à la base de la démonstration et sont tous les deux hors-programmes. Il faut donc être solide sur ces notions : il faut savoir définir le produit semi-direct et avoir une idée des démonstrations des théorèmes de Sylow.


Loi de réciprocité quadratique par Demarche

Difficulté : Moyenne / Mon intérêt : Fort

La démonstration repose sur des manipulations et des calculs dans les anneaux Z/nZ, ce qui est plutôt simple. En plus, il donne une preuve (très) originale d’un résultat classique. Mais ce développement n’est pas référencé : il faut donc très bien le connaître ce qui est assez risqué. Il vient d’un exo de TD de théorie des nombres donné en Master 1 par Cyril Demarche.


Loi de réciprocité quadratique par les formes quadratiques

Difficulté : Elevé / Mon intérêt : Moyen

La démonstration est assez longue mais tient en 15 minutes si on la prépare bien. Le passage avec l’hyperplan est assez technique mais le reste n’est pas excessivement dur si on maîtrise bien le dénombrement, les corps finis et les formes quadratiques sur les corps finis. C’est assez original mais ça risque de devenir un classique vu le succès du livre dont est issu le développement.


Points extrémaux de la boule unité de L(E) 1-2.JPG

Difficulté : Moyenne / Mon intérêt : Faible

Développement que j’ai préparé faute de mieux avec un résultat qui m’inspire rien. C’est plutôt court et pas trop difficile même si tout n’est pas bien expliqué.


Polynômes irréductibles sur Fq

Difficulté : Moyenne / Mon intérêt : Fort

Un de mes développements préférés malgré qu’il soit un classique de l’agrégation. Il n’est pas très dur si on est à l’aise avec la construction des corps finis et les calculs dans Fq. Attention de bien définir la fonction de Möbius et d’énoncer le lemme d’inversion dans le plan si on l’admet (on peut d’ailleurs démontrer le lemme et ne pas faire la fin). On peut se limiter au dénombrement de I(n,q) si on veut rester modeste mais tout peut être fait sans se dépêcher. Il faut s’attendre à l’application « probabiliste » et l’analogie avec le théorème des nombres premiers est pas très connue.


Table de caractères de D(n)

Difficulté : Moyen / Mon intérêt : Faible

Je n’aime pas ce développement qui est difficile à expliquer : les représentations arrivent comme par magie (même si on peut introduire la représentation régulière pour commencer), la table est pas comme d’habitude et on peut facilement s’embrouiller.


Table des caractères de S(4)

Difficulté : Moyen / Mon intérêt : Moyen

Attention, l’interprétation des isométries du cube en représentation irréductibles de degré 3 n’est pas référencée : il faut bien comprendre selon le type de la permutation l’isométrie associé pour en déduire le caractère. Le reste n’est pas trop difficile si on a bien compris comment remplir une table de caractères.


Théorème de Bézout

Difficulté : Elevé / Mon intérêt : Fort

J’aime beaucoup ce développement que j’ai créé à partir des TD de la prépa Agreg. Il est du coup très original mais difficile (il a fallu l’explication d’un prof pour tout comprendre), pas référencé et assez long. A faire que si on y passe beaucoup de temps.


Théorème de Burnside

Difficulté : Faible / Mon intérêt : Moyen

Développement très classique, qui n’utilise que la base de l’algèbre linéaire. La seule difficulté est qu’il y a beaucoup d’arguments à énoncer et d’étapes assez différentes à traiter. Aussi, il faut préparer un contre-exemple au théorème.


Théorème de Kronecker

Difficulté : Faible / Mon intérêt : Moyen

Développement classique dont la fin n’est pas référencé. L’utilisation du résultant peut faire peur mais pour le reste, ce n’est pas difficile.


Théorème de Molien

Difficulté : Elevé / Mon intérêt : Fort

Le développement d’Algèbre le plus dur de la liste à mon avis. Déjà, les polynômes à plusieurs indéterminées et les représentations sont peu appréciés. Ensuite, le développement est assez subtil, on peut rapidement se perdre et en plus, il sert à rien (en tout cas, je connais aucune application), s’insérant très mal dans les plans. Enfin, il est très mal référencé, il y a beaucoup de choses issues d’Internet et qu’on ne peut pas retrouver dans les livres. Mais à force de le bosser, je l’aimais bien et j’aurais aimé le présenter. A (très) bien préparer si on veut le proposer.


Théorème des deux carrés

Difficulté : Moyen / Mon intérêt : Faible

Développement classique que j’aime peu et que je ne maitrisais pas trop. Ce que j’ai écrit est trop long pour tenir en 15 minutes par ailleurs.


Théorème des extrema liés

Difficulté : Elevé / Mon intérêt : Faible

Certes, l’utilisation du rang est astucieuse. Mais la démonstration est plutôt longue et très technique et donc difficile. De plus, il est facile de se faire piéger si on ne comprend pas l’interprétation en termes de sous-variété ou si on n’a pas d’exemple.

Analyse

Densité des fonctions continues et nulle part dérivables

Difficulté : Moyen / Mon intérêt : Faible

Le résultat est joli mais la démonstration fait appel au lemme de Baire, il faut donc être prêt à des questions dessus. Surtout, la démonstration est calculatoire et assez technique et on peut facilement dépasser les 15 minutes.


Equation fonctionnelle liant les fonctions Gamma et Zeta

Difficulté : Faible / Mon intérêt : Moyen

Rien de très difficile (à part si on a peur de l'analyse complexe) avec un résultat sympathique. Ce développement change du classique Prolongement méromorphe de Gamma qui est risqué vu que les fonctions méromorphes sont plus dans le titre de la leçon d'Analyse complexe de l'oral.


Espérance conditionelle

Difficulté : Moyen / Mon intérêt : Fort

Mon développement préféré en Analyse. Il demande de connaître les bases des espaces Lp et des espaces de Hilbert et en retour, on peut le caser à beaucoup d'endroits de manière originale (en particulier dans des leçons qui ne sont pas des leçons de probabilités). Attention, la référence principale ne détaille pas autant donc il faut bien l'avoir compris car il ne s'improvise pas.


Etude de la série harmonique

Difficulté : Faible / Mon intérêt : Faible

Un développement classique qui consiste à empiler des calculs. Pas très intéressant mais au moins, il est accessible.


Formule de Stirling par les probabilités

Difficulté : Elevé / Mon intérêt : Moyen

La principale difficulté vient du fait qu'il y a aucune référence, il faut être prêt à l'apprendre par coeur. Le développement est pas si difficile si on sait quels calculs il faut faire, le seul danger étant de s'embrouiller à l'oral avec ces calculs. Entièrement issu du document de Romain au passage.


Inégalité isopérimétrique

Difficulté : Moyen / Mon intérêt : Moyen

Un classique de l'agreg mais qui illustre bien les leçons concernés. Il faut alors bien insister sur les points concernés et aller plus vite sur le reste. J'ai ajouté un lemme dont le résultat est utilisé sans explication dans la référence alors que cela me paraît pas trivial


Loi des événements rares

Difficulté : Elevé / Mon intérêt : Fort

J'ai passé beaucoup de temps à finaliser ce développement et il offre un résultat qui motive la loi de Poisson. Je déconseille la méthode du Ouvrard avec l'analyse complexe qui est douteuse, j'ai utilisé comme référence le Garet-Kurtzmann mais qui ne détaille pas toute la preuve (il y a seulement des indications et le lemme est démontré dans le Mazliak). Au final, la démonstration s'inspire de celle du TCL et il peut être judicieux de le mentionner à l'oral.


Méthode de Newton

Difficulté : Faible / Mon intérêt : Faible

Développement ultra-classique, l'originalité étant ici de ne pas faire le cas de la fonction convexe pour s'intéresser à l'application au calcul de racines carrés (d'ailleurs, je n'ai pas réussi à avoir un exemple numérique intéressant...)


Processus de branchements

Difficulté : Moyen / Mon intérêt : Fort

C'est un développement très facile à motiver et qui est assez original. Globalement, chaque partie est assez simple mais il est difficile de faire tout tenir en 15 minutes sans aller vite ou omettre quelques détails.


SLn(R) est une sous-variété

Difficulté : Faible / Mon intérêt : Moyen

Pour ceux qui ose choisir la leçon Sous-variété, je pense que ce développement, bien que court et assez facile, suffit amplement pour illustrer la leçon et mettre en valeur ces connaissances.


Théorème d'Abel

Difficulté : Faible / Mon intérêt : Faible

La version la plus répandu de ce développement consiste à enchaîner avec le théorème taubérien faible. Personnelement, je trouve cela trop long surtout qu'il est facile de se planter dans les calculs. J'ai préféré préparer que le théorème d'Abel avec des exemples, quitte à être un peu trop court.


Théorème de Borel

Difficulté : Moyen / Mon intérêt : Faible

Développement que j'ai préparé faute de mieux mais je trouve le résultat moyennement intéressant et la démonstration assez obscure. J'aurais pas aimé le faire en vrai.


Théorème de Fejér

Difficulté : Moyen / Mon intérêt : Moyen

Développement très classique que j'ai présenté en colle et le jour J. La difficulté est de ne pas se perdre dans les notations, ce qui m'est arrivé (j'ai inversé les notations au tableau par rapport aux notations du plan). Il faut s'attendre à des questions sur les approximations de l'unité (où j'ai seché) ou sur la justifications de l'uniforme continuité de la fonction (il faut prendre un intervalle de longueur 4*Pi pour y arriver).


Théorème de Montel

Difficulté : Elevé / Mon intérêt : Faible

La démonstration est assez difficile et en plus, la référence est assez concise. Bref, développement piège qui sert pour peu de leçons.


Théorème de Riesz-Fischer

Difficulté : Moyen / Mon intérêt : Fort

Développement que tout le monde fait ! J'ai choisi la démonstration du Briane-Pagès et du Marco plutôt que celle du Brezis et j'ai rédigé deux lemmes (qui ne sont pas à présenter) qu'on peut être amené à démontrer en question quand on présente cette version

Les développements abandonnés

Vous avez dû remarquer qu'il y a quelques trous dans mes couplages. Deux développements m'ont paru trop durs et j'ai donc abandonné à une semaine des oraux ces deux développements sans pouvoir les remplacer. J'avais ainsi préparé comme développement le lemme de Morse que je le trouve trop long, trop dur et trop abstrait sans une préparation sérieuse. En tout cas je le déconseille même s'il est présent dans beaucoup de couplages qu'on peut trouver sur Internet. De même, j'ai abandonné le théorème de Brouwer pour les mêmes raisons. Trois autres développements ont été commencés mais faute de temps, je ne les maîtrisais pas vraiment. J'avais prévu la méthode de Gauss-Sieldel, le théorème de Weierstrass par les probabilités et un développement autour des variables gaussiennes. D'ailleurs, je me suis retrouvé à présenter le dernier le jour J et heureusement qu'ils m'ont demandé l'autre développement ! Je pense que ces trois énoncés peuvent faire des bons développements, à vous de bien les préparer