Plans de leçons
Note : attention, les leçons peuvent évoluer chaque année. Certaines leçons disparaissent, d'autres sont renommées ou ajoutées.
Sur cette page, vous trouverez les plans de trois ex-agrégatifs (2010) : Florent, Soussou et Romain M. Mais avant, quelques commentaires de chacun de nous trois :
Plans de Florent : plusieurs plans d'une qualité très variable. Vous pouvez vous reporter à la liste de toutes les leçons de Florent (cette liste est à jour) pour trouver des indications sur cette qualité (leçon bleue=pas mal faite ; leçon violette=ébauche ; leçon noire=pas faite du tout) ainsi que les développements correspondant à chaque leçon. Dans les commentaires de chaque leçon, je mets quelques liens vers des fils du forum des mathematiques.net où je demandais de l'aide sur ces leçons, et qui peuvent être intéressants.
Dans les plans, j'ai essayé de mettre un maximum d'informations : idées de preuves, commentaires sur les pièges qu'on peut rencontrer etc. Avec du recul, je suis content d'avoir tapé tout ceci sur l'ordinateur ; j'ai pu modifier ces plans facilement tout au long de l'année, et il m'a semblé plus bénéfique de réviser un plan avec beaucoup de commentaires et d'idées de preuves qu'un plan avec juste les théorèmes.
J'ai aussi essayé de mettre des références les plus précises possibles, vous pouvez vous reporter à ma bibliographie pour plus d'informations.
Plans de Soussou : attention à utiliser comme il faut les plans que je propose sur Agregmaths! Ils sont déjà loin d'être complets, et les phrases que j'y insère sont juste des idées. Ces idées ne sont pas toujours dans l'ordre, à vous de réorganiser ces idées dans le bon ordre ou celui qui vous convient. Je ne donne pas des références précises, j'estime que chercher par vous même dans les bouquins vous sera d'autant plus bénéfique. Dernière chose : le plan parfait n'existe pas. Le meilleur plan est le vôtre ! Il faut vraiment que ceci vous serve de gain de temps à la pêche aux idées.
Mes fiches sont donc munies :
- d'un plan (plus ou moins détaillé selon la flemme);
- d'une liste de développements potentiels. Si certains développements sont en italique, cela signifie qu'ils ne trouvent pas tout à fait leur place dans la leçon. Ils sont précédés d'une référence, A signifiant Algèbre et B signifiant Analyse.
- de références. Je donne 3 lettres entre crochets pour désigner un livre. Je vous laisse vous reporter à ma bibliographie pour l'intitulé exact.
Plans de Romain M. : sa bibliographie est consultable ici.
Plus bas sur cette page, vous trouverez :
ALGEBRE
- 101 - Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
Florent (avec questions du jury ; je suis passé sur cette leçon ; bilan : 17,25 ; vrai plan du jour de l'agreg)
- 103 - Exemples et applications des notions de sous-groupe distingué et de groupes quotient.
- 104 - Groupes finis. Exemples et applications.
- 105 - Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.
- 106 - Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications
- 107 - Sous-groupes finis de O(2,R) et de SO(3,R). Applications.
- 108 - Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications.
- 109 - Anneau Z/nZ. Applications.
- 110 - Nombres premiers. Applications.
- 111 - Anneaux principaux. Applications.
- 112 - Corps finis. Applications.
- 113 - Groupe des nombres complexes de module 1. Sous-groupes des racines de l'unité. Applications.
- 114 - Anneau des séries formelles
Florent
- 116 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.
- 117 - Algèbre des polynômes à n indéterminées (n=2). Polynômes symétriques. Applications.
- 118 - Exemples d'utilisation de la notion de dimension en algèbre et en géométrie
- 119 - Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices
- 120 - Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de dimension finie). Rang. Exemples et applications.
- 121 - Matrices équivalentes. Matrices semblables. Applications.
- 123 - Déterminant. Exemples et applications.
- 124 - Polynôme d'endomorphismes en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.
- 125 - Sous-espaces stables d'un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
- 126 - Endomorphismes diagonalisables en dimension finie .
- 127 - Exponentielle de matrices. Applications.
- 128 - Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
- 129 - Algèbre des polynômes d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.
- 130 - Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
- 131 - Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications
- 132 - Formes linéaires et hyperplans en dimension finie. Exemples et applications.
- 133 - Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien de dimension finie.
- 135 - Isométries d'un espace affine euclidien de dim finie. Formes réduites. Applications en dim 2 et 3.
- 136 - Coniques. Applications.
- 137 - Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications
- 138 - Homographies de la droite projective complexe. Applications.
- 139 - Application des nombres complexes à la géométrie
- 140 - Systèmes d'équations linéaires. Systèmes échelonnés. Résolution. Exemples et applications.
- 141 - Utilisation des groupes en géométrie.
- 144 - Problèmes d'angles et de distances en dimension 2 ou 3.
- 145 - Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
- 146 - Résultant de deux polynômes, applications à l'intersection de courbes ou de surfaces algébriques
- 148 - Formes quadratiques réelles. Exemples et applications.
- 149 - Groupes finis de petit cardinal
ANALYSE
- 201- Espaces de fonctions. Exemples et applications.
- 202 - Exemples de parties denses et applications.
- 203 - Utilisation de la notion de compacité.
Florent (plan du jour de l'agreg)
- 204 - Connexité. Exemples et applications.
- 205 - Espaces complets. Exemples et applications.
- 206 - Théorèmes de point fixe. Exemples et applications.
- 207 - Prolongement de fonctions. Exemples et applications.
- 208 - Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
- 213 - Espaces de Hilbert, bases hilbertiennes. Exemples et applications.
- 214 - Théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications.
- 215 - Applications différentiables définies sur un ouvert de Rn. Exemples et applications.
- 216 - Etude métrique des courbes. Exemples
Florent
- 217 - Sous-variétés de Rn, exemples
- 218 - Applications des formules de Taylor.
- 219 - Problèmes d'extremum.
- 220 - Equations différentielles X ' = f(t, X), exemples d'études qualitatives des solutions.
- 221 - Equations différentielles linéaires. Systèmes d'équations différentielles linéaires. Exemples et applications.
- 223 - Convergence des suites numériques. Exemples et applications.
- 224 - Comportement asymptotique des suites numériques. Rapidité de convergence. Exemples.
- 225 - Etude locale de surfaces. Exemples.
- 226 - Comportement d'une suite réelle ou vectorielle définie par une itération un+1 = f (un). Exemples.
- 228 - Continuité et dérivabilité des fonctions réelles d'une variable réelle. Exemples et contre-exemples.
- 229 - Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.
- 230 - Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.
- 232 - Méthodes d'approximation des solutions d'une équation F(X) = 0. Exemples.
- 234 - Espaces Lp (1<=p<=oo).
- 235 - Suites et séries de fonctions intégrables. Exemples et applications.
- 236 - Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables réelles.
- 238 - Méthodes de calcul approché d'intégrales.
- 238b - Méthodes de calcul approché d’intégrales et d’une solution d’une équation différentielle.
- 239 - Fonctions définies par une intégrale dépendant d'un paramètre. Exemples et applications
- 240 - Transformation de Fourier, produit de convolution. Applications.
Florent (voir ici, ici, ici et ici)
- 241 - Suites et Séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.
- 242 - Utilisation en probabilités des transformations de Fourier ou de Laplace et du produit de convolution
- 243 - Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.
- 245 - Fonctions holomorphes et méromorphes sur un ouvert de C.
- 246 - Séries de Fourier. Exemples et applications.
- 247 - Exemples de problèmes d'interversion de limites.
- 249 - Suites de variables de Bernoulli indépendantes.
- 250 - Loi des grands nombres, théorème de la limite centrale. Applications.
- 251 - Indépendance d'événements et de variables aléatoires. Exemples.
- 252 - Loi binomiale, loi de Poisson – Applications
Je n'ai pas rédigé beaucoup de plans. Au début je pensais en rédiger la plupart, mais je me suis vite rendu compte que ça n'était pas très utile, de mon point de vue bien sûr. En effet, pour moi l'essentiel est de maîtriser à fond tous ses développements, ce qui constitue déjà un travail de mémoire conséquent. L'intérêt de rédiger tous les plans, c'est de les avoir fait une fois pour toutes et de pouvoir les relire avant les oraux ainsi qu'éventuellement les apprendre. Ca finit par faire beaucoup trop de par coeur. J'ai préféré prendre les leçons et me demander si j'avais des idées, ce que je mettrais, quels livres j'utiliserais, et si je n'avais pas d'idées en chercher. Après une recherche, on se souvient de comment on a procédé et on sera en mesure de le reproduire le jour de l'oral. De plus, rédiger un plan très précis, avec pleins d'exemples riches extraits de multiples livres ne pourra pas être retrouvé le jour de l'oral. C'est intéressant de le faire pour quelques leçons mais pas toutes. On a beaucoup d'autres choses à faire, l'année passe vite ! J'ai préféré garder du temps pour travailler beaucoup de questions posées aux oraux ou dans les rapports de jury.
Voici ci-dessous les quelques plans que j'ai néanmoins rédigé. Trois pages et demi avec ma mise en page Latex correspondent aux trois rectos manuscrits imposés à l'agrég. Certains de mes plans dépassent quatre pages et sont donc trop long.
En algèbre :
- 141 - Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.
Un plan que j'ai présenté pendant l'année et qu'on m'a dit être bien construit et avec une bonne utilisation des exemples. - 162 - Systèmes d'équations linéaires. Opérations, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.
Il manque sûrement des choses sur les matrices échelonnées réduites. Un certain nombre de résultats pourraient être enlevés je pense.
En analyse :
- 219 - Problèmes d'extremums.
La deuxième partie sur l'existence d'extremums est peut-être un peu trop "catalogue". On peut largement omettre le 1.2 sur le calcul des variations, mais il est bon de savoir que ça existe. Une piste de présentation orale est donnée par l'étude de l'exemple 2 au cours de la leçon. - 223 - Convergence des suites numériques. Exemples et applications.
- 226 - Comportement d'une suite réelle ou vectorielle définie par une itération u_(n+1) = f(u_n). Exemples.
J'ai consacré une partie à l'analyse numérique, ça n'est pas obligatoire pour ceux qui ne sont pas à l'aise. On peut dire beaucoup d'autres choses en remplacement de cette partie. - 228 - Continuité et dérivabilité des fonctions réelles d'une variable réelle. Exemples et contre-exemples.
Plans de Victor, pour l'agreg 2014. Voir le couplage plans/développements.
J’avais l’ambition d’écrire tous les plans (sauf ceux de mes impasses) car cela me permettait de revoir les notions de bases de chaque leçon et de réfléchir à un plan cohérent avec mes connaissances, le tout en me laissant 2h/2h30 comme le jour de l’oral. Au final, beaucoup de plans sont inachevés car soit j’avais la flemme (tout simplement), soit la partie qui reste à écrire est déjà écrite dans une autre leçon, soit je n’étais pas à l’aise avec la partie et donc j’ai préféré l’abandonner. Honnêtement, cela m’a servi moyennement et ça m’a surtout forcé à bosser, ce qui n’est pas si mal. A la fin de chaque plan, il y a les références qui m’ont servis. En théorie, dans la marge, les références sont notés pour montrer quel livre sert pour quelle partie ou quel théorème mais le scanner a coupé la marge. Surtout, les plans préparés sont trop longs pour être bien préparé durant les 3h et donc c’est normal si le jour J, on n’a pas le temps d’écrire tout ça.
Pour avoir une idée du travail attendu, vous pouvez aller voir les plans des leçons 157 et 219 qui ont été fait en oral blanc. Les professeurs ont trouvé les plans corrects (en longueur et contenu) et je n’avais pas préparé les plans à l’avance donc en 3h, on peut largement s’en sortir tant qu’on connait bien les notions de la leçon. Le jour J en algèbre, j’ai présenté 141 et le fait d’avoir préparé la leçon m’a bien servi et m’a mis en confiance. Vous pouvez comparer le plan préparé avant et le plan présenté (voir Les épreuves - Mon expérience) le jour J pour constater que je n’ai pas eu les idées et le temps de mettre tout le travail auquel j’avais pensé en révision. Pour l’analyse, j’ai présenté 240 et le plan final ressemble au plan imaginé en révision (rédigé, cela a fait 2 pages et demi).
Je n’ai pas le courage de détailler les difficultés, les choses importantes de chaque plan. Globalement, j’ai préféré faire ceux d’algèbre et ce sont ceux qui sont avec le moins de coquilles et d’un bon niveau (voire trop compliqué pour certaines parties) tandis que ceux d’analyse sont plus faible et en presque totalité non finis. Pour tous les plans, complets ou non, faites attention aux erreurs éventuelles et essayez de faire un plan qui va avec vos développements et vos connaissances, c’est le principal.
ALGEBRE
- 110 - Caractères d'un groupe abélien fini et transformée de Fourier discrète. Applications.
- 127 - Droite projective et birapport.
- 180 – Coniques. Applications.
ANALYSE
- 220 – Equations différentielles X’=f(t,X). Exemples d’étude des solutions en dimension 1 et 2.
- 221 – Equations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.
- 222 – Exemples d’équations aux dérivées partielles linéaires.
- 233 – Analyse numérique matricielle : résolution approchée de systèmes linéaires, recherche de vecteurs propres, exemples.
- 254 – Espaces de Schwartz S(R^d) et distributions tempérées. Transformation de Fourier dans S(R^d) et S’(R^d).
- 255 – Espaces de Schwartz. Distributions. Dérivation au sens des distributions.